Gaussian și Parabola vor studia fluxurile luminoase cu LED ale unei lămpi experimentale: 6 pași

2024 Autor: John Day | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-30 11:41

Bună ziua tuturor factorilor de decizie și comunității pline de viață Instructable.

De data aceasta Merenel Research vă va aduce o problemă pură de cercetare și o modalitate de a o rezolva cu matematica.

Am avut această problemă eu în timp ce calculam fluxurile LED ale unei lămpi LED RGB pe care am construit-o (și pe care o voi învăța cum să o construiesc). După ce am căutat pe larg online nu am găsit un răspuns, așa că aici postez soluția.

PROBLEMA

Foarte des în fizică trebuie să avem de-a face cu curbe care au forma distribuției Gaussiene. Da! Este curba în formă de clopot folosită pentru a calcula probabilitatea și ne-a fost adusă de la marele matematician Gauss.

Curba Gauss este utilizată pe scară largă în aplicațiile fizice din viața reală, mai ales atunci când trebuie să ne ocupăm de radiațiile propagate dintr-o sursă sau primite de la un receptor, de exemplu:

- emisia de putere a unui semnal radio (de exemplu, Wi-Fi);

- fluxul luminos emis de un LED;

- citirea unei fotodiode.

În foaia tehnică a producătorului ni se oferă adesea valoarea reală a zonei Gaussianului, care ar fi puterea totală radiantă sau fluxul luminos într-o anumită porțiune a spectrului (de exemplu, a unui LED), dar devine dificil să calculăm radiația reală emise la vârful curbei sau chiar mai dificil de cunoscut radiația suprapusă a două surse apropiate, de exemplu dacă iluminăm cu mai mult de un LED (de exemplu, albastru și verde).

În această lucrare instructabilă vă voi explica cum să aproximați Gaussianul cu o curbă mult mai ușor de înțeles: o parabolă. Voi răspunde la întrebarea: câte curbe gaussiene sunt într-o parabolă?

SPOILER → RĂSPUNSUL ESTE:

Zona Gauss este întotdeauna de 1 unitate.

Aria parabolei corespunzătoare cu aceeași bază și înălțime este de 2,13 ori mai mare decât aria Gaussiană relativă (a se vedea imaginea pentru demonstrația grafică).

Deci, un gaussian este 46,94% din parabola sa și această relație este întotdeauna adevărată.

Aceste două numere sunt legate astfel 0.46948 = 1 / 2.13, aceasta este relația matematică strictă dintre o curbă gaussiană și parabola acesteia și invers.

În acest ghid te voi conduce să descoperi acest pas cu pas.

Singurul instrument de care vom avea nevoie este Geogebra.org, un excelent instrument matematic online pentru a desena diagrame.

Graficul Geogebra pe care l-am făcut pentru a compara o parabolă cu un gaussian poate fi găsit la acest link.

Această instrucțiune este lungă, deoarece este vorba despre o demonstrație, dar dacă trebuie să rezolvați rapid aceeași problemă pe care am avut-o cu fluxurile luminoase cu LED-uri sau cu alt fenomen cu curbe gaussiene suprapuse, vă rugăm să săriți la foaia de calcul pe care o veți găsi atașată la pas 5 din acest ghid, care vă va ușura viața și vă va face automat toate calculele.

Sper că vă place matematica aplicată, deoarece acest lucru este instructiv.

Pasul 1: Înțelegerea luminii emise de un LED monocromatic

În această analiză, voi lua în considerare o serie de LED-uri colorate, așa cum vedeți clar din diagrama spectrului (prima imagine) distribuția lor spectrală a puterii arată într-adevăr ca un Gauss care converge în axa x la -33 și + 33nm din medie (producătorii oferă de obicei această specificație). Totuși, considerați că reprezentarea acestei diagrame normalizează toate spectrele pe o singură unitate de putere, dar LED-urile au putere diferită în funcție de cât de eficient sunt fabricate și de cât de mult curent electric (mA) le alimentați.

După cum puteți vedea, uneori fluxul luminos al două LED-uri se suprapune pe spectru. Să spunem că vreau cu ușurință să calculez suprafața suprapusă a acelor curbe, pentru că în acea zonă va exista cantitatea dublă de putere și vreau să știu câtă putere în temele de lumen (lm) avem acolo, ei bine, asta nu este o sarcină ușoară la care vom încerca să răspundem în acest ghid. Problema a apărut pentru că, atunci când construiam lampa experimentală, îmi doream foarte mult să știu cât de mult se suprapun spectrul Albastru și Verde.

Ne vom concentra doar pe LED-urile monocromatice care sunt cele care emit la o porțiune îngustă a spectrului. În grafic: ALBASTRU REAL, ALBASTRU, VERDE, ORANGE-ROȘU, ROȘU. (Lampa reală pe care o construiesc este RGB)

FONDUL FIZICĂ

Să ne întoarcem puțin și să facem un pic de explicație fizică la început.

Fiecare LED are o culoare, sau mai științific am spune că are o lungime de undă (λ) care o determină și care este măsurată în nanometri (nm) și λ = 1 / f, unde f este frecvența de oscilare a fotonului.

Deci, ceea ce numim RED este în esență o grămadă (grozavă) de fotoni care oscilează la 630 nm, acei fotoni lovesc materia și ricoșează în ochii noștri, care acționează ca receptori, iar apoi creierul tău procesează culoarea obiectului ca RED; sau fotonii ar putea intra direct în ochii tăi și ai vedea LED-ul care le emite strălucind în culoarea ROȘU.

S-a descoperit că ceea ce numim lumină este de fapt doar o mică parte din spectrul electromagnetic, între 380nm și 740nm; deci lumina este o undă electromagnetică. Ce este curios despre acea porțiune a spectrului este că tocmai bucata spectrului trece mai ușor prin apă. Ghici ce? Strămoșii noștri străvechi din Supa Primordială s-au aflat de fapt în apă, și este în apă unde primele ființe vii, mai complexe, au început să dezvolte ochii. Vă sugerez să urmăriți videoclipul de Kurzgesagt pe care l-am atașat pentru a înțelege mai bine ce este lumina.

Pentru a rezuma, un LED emite lumină, care este o anumită cantitate de putere radiometrică (mW) la o anumită lungime de undă (nm).

De obicei, atunci când avem de-a face cu lumină vizibilă nu vorbim despre puterea radiometrică (mW), ci despre fluxul luminos (lm), care este o unitate de măsură cântărită la răspunsul la lumina vizibilă a ochilor oamenilor, derivă din unitate de măsură a candelei și se măsoară în lumen (lm). În această prezentare vom lua în considerare lumenii emiși din LED-uri, dar totul se va aplica la mW exact în aceeași măsură.

În orice fișă tehnică LED, producătorul vă va oferi aceste informații:

De exemplu, din această fișă tehnică atașată, vedeți că, dacă alimentați ambele leduri cu 100mA, aveți:

ALBASTRUL este la 480 nm și are 11lm de flux luminos;

VERDE este la 530 nm și are 35lm de flux luminos.

Aceasta înseamnă că Curba Gaussiană de Albastru va fi mai înaltă, va crește mai mult, fără a se modifica lățimea și va oscila în jurul porțiunii delimitate de linia albastră. În această lucrare voi explica cum să calculăm înălțimea lui Gauss care exprimă puterea maximă de vârf emisă de LED, nu numai puterea emisă în acea porțiune a spectrului, din păcate, această valoare va fi mai mică. Mai mult, voi încerca să aproximez partea suprapusă a celor două LED-uri pentru a înțelege cât de mult flux luminos se suprapune atunci când avem de-a face cu LED-uri care sunt „vecine” în spectru.

Măsurarea fluxului de LED-uri este o chestiune foarte complexă, dacă sunteți dornici să aflați mai multe, am încărcat o lucrare detaliată de Osram care explică cum se fac lucrurile.

Pasul 2: Introducere în parabolă

Nu voi intra în prea multe detalii despre ceea ce este o parabolă, deoarece este studiată pe larg la școală.

O ecuație a unei parabole poate fi scrisă în următoarea formă:

y = ax ^ 2 + bx + c

ARHIMEDE NE AJUTĂ

Ceea ce aș dori să subliniez este o importantă teoremă geometrică a lui Arhimede. Ceea ce spune teorema este că aria unei parabole limitată într-un dreptunghi este egală cu 2/3 din aria dreptunghiului. În prima imagine cu parabola puteți vedea că zona albastră este 2/3 și zonele roz sunt 1/3 din aria dreptunghiului.

Putem calcula parabola și ecuația acesteia cunoscând trei puncte ale parabolei. În cazul nostru vom calcula vârful și cunoaștem intersecțiile cu axa x. De exemplu:

LED ALBASTRU Vertex (480,?) Y al vârfului este egal cu puterea luminoasă emisă la lungimea de undă de vârf. Pentru a-l calcula, vom folosi relația care există între aria unui gaussian (fluxul real emis de LED) și cea a unei parabole și vom folosi teorema lui Arhimede pentru a cunoaște înălțimea dreptunghiului care conține acea parabolă.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

MODEL PARABOLIC

Privind imaginea pe care am încărcat-o, puteți vedea un model complex pentru a reprezenta cu parabole mai multe fluxuri luminoase cu LED-uri diferite, dar știm că reprezentarea lor nu este exact așa, deoarece seamănă mai mult cu un Gaussian.

Cu toate acestea, cu parabole, folosind formule matematice putem găsi toate punctele de intersecție ale mai multor parabole și putem calcula ariile care se intersectează.

În pasul 5 am atașat o foaie de calcul în care am pus toate formulele pentru a calcula toate parabolele și zonele de intersecție ale LED-urilor monocromatice.

De obicei, baza Gaussianului unui LED este mare de 66nm, deci dacă cunoaștem lungimea de undă dominantă și aproximăm radiația LED cu o parabolă, știm că parabola relativă va intersecta axa x în λ + 33 și λ-33.

Acesta este un model care aproxima o lumină totală LED emisă cu parabolă. Dar știm că, dacă vrem să fim preciși, nu este tocmai corect, ar trebui să folosim o curbă Gauss, care ne duce la pasul următor.

Pasul 3: Introducere în curba Gaussiană

Un Gauss este o curbă care va suna mai complexă decât o parabolă. A fost inventat de Gauss pentru a interpreta erorile. De fapt, această curbă este foarte utilă pentru a vedea distribuția probabilistică a unui fenomen. În măsura în care ne deplasăm spre stânga sau dreapta de la medie avem un anumit fenomen mai puțin frecvent și, după cum puteți vedea din ultima imagine, această curbă este o foarte bună aproximare a aparițiilor din viața reală.

Formula Gaussiană este cea înfricoșătoare pe care o vedeți ca a doua imagine.

Proprietățile Gaussiene sunt:

- este simetric față de medie;

- x = μ nu numai că coincide cu media aritmetică, ci și cu mediana și modul;

- este asimptotic la axa x pe fiecare parte;

- scade pentru xμ;

- are două puncte de inflexiune în x = μ-σ;

- aria de sub curbă este de 1 unitate (fiind probabilitatea ca orice x să verifice)

σ este deviația standard, cu cât numărul este mai mare, cu atât este mai largă baza Gaussiană (prima imagine). Dacă o valoare este în porțiunea 3σ, am ști că se îndepărtează cu adevărat de medie și există mai puține probabilități ca aceasta să se întâmple.

În cazul nostru, cu LED-uri, cunoaștem aria Gaussianului care este fluxul luminos dat în foaia tehnică a producătorului la un vârf de lungime de undă dat (care este media).

Pasul 4: demonstrație cu Geogebra

În această secțiune vă voi oferi tehnici despre cum să utilizați Geogebra pentru a demonstra că o parabolă este de 2,19 ori mai mare decât cea gaussiană.

În primul rând trebuie să creați câteva variabile, făcând clic pe comanda glisantă:

Abaterea standard σ = 0,1 (abaterea standard definește cât de largă este curba Gauss, am pus o valoare mică pentru că am vrut să o îngust pentru a simula o distribuție spectrală a puterii LED)

Media este 0, astfel încât Gaussian este construit pe axa y, unde este mai ușor de lucrat.

Faceți clic pe funcția de undă mică pentru a activa secțiunea funcției; acolo, făcând clic pe fx, puteți introduce formula gaussiană și veți vedea că apare pe ecran o curbă gaussiană înaltă și frumoasă.

Grafic veți vedea unde converge curba pe axa x, în cazul meu în X1 (-0,4; 0) și X2 (+0,4; 0) și unde se află vârful în V (0; 4).

Cu acest punct trei aveți suficiente informații pentru a găsi ecuația parabolei. Dacă nu doriți să faceți calculul manual, nu ezitați să utilizați acest site web sau foaia de calcul în pasul următor.

Folosiți comanda de funcție (fx) pentru a completa funcția de parabolă pe care tocmai ați găsit-o:

y = -25x ^ 2 +4

Acum trebuie să înțelegem câți gausi se află într-o parabolă.

Va trebui să utilizați comanda funcțională și să introduceți comanda Integral (sau Integrale în cazul meu, deoarece foloseam versiunea italiană). Integrala definită este operația matematică care ne permite să calculăm aria unei funcții definită între valori x. Dacă nu vă amintiți ce este o integrală definită, citiți aici.

a = Integral (f, -0,4, +0,4)

Această formulă Geogebra va rezolva integralul definit între -0,4 și +0,4 al funcției f, Gaussian. Deoarece avem de-a face cu un gaussian, aria sa este 1.

Faceți același lucru pentru parabolă și veți descoperi numărul magic 2.13. Care este numărul cheie pentru a face toate conversiile fluxului luminos cu LED-uri.

Pasul 5: Exemplu de viață reală cu LED-uri: calcularea vârfului fluxului și a fluxurilor suprapuse

FLUX LUMINOS LA VARF

Pentru a calcula înălțimea reală a curbelor Gaussiene agitate ale distribuției fluxului LED, acum că am descoperit factorul de conversie 2.19, este foarte ușor.

de exemplu:

LED-ul ALBASTRU are 11lm de flux luminos

- convertim acest flux din gaussian în parabolic 11 x 2,19 = 24,09

- folosim Teorema lui Arhimede pentru a calcula aria dreptunghiului relativ care conține parabola 24,09 x 3/2 = 36,14

- găsim înălțimea acelui dreptunghi împărțind pentru baza Gaussian pentru LED-ul ALBASTRU, dat în foaia tehnică sau văzut pe diagrama fișei tehnice, de obicei în jurul valorii de 66nm, și aceasta este puterea noastră la vârful 480nm: 36,14 / 66 = 0,55

SUPRAPUNERE DE ZONE DE FLUX LUMINOS

Pentru a calcula două radiații suprapuse, vă voi explica cu un exemplu cu următoarele două LED-uri:

ALBASTRU este la 480 nm și are 11lm de flux luminos GREEN este la 530nm și are 35lm de flux luminos

Știm și vedem din grafic că ambele curbe gaussiene converg în -33nm și + 33nm, în consecință știm că:

- ALBASTRU intersectează axa x în 447nm și 531nm

- VERZUL intersectează axa x în 497nm și 563nm

Vedem clar că cele două curbe se intersectează, deoarece un capăt al primei este după începutul celuilalt (531nm> 497nm), astfel încât lumina acestor două LED-uri se suprapune în unele puncte.

Mai întâi trebuie să calculăm ecuația parabolei pentru ambele. Foaia de calcul atașată este acolo pentru a vă ajuta cu calculele și a încorporat formulele pentru a rezolva sistemul de ecuații pentru a determina cele două parabole cunoscând punctele intersecției axei x și vârful:

Parabola ALBASTRU: y = -0.0004889636025x ^ 2 + 0.4694050584x -112.1247327

Parabola VERDE: y = -0.001555793281x ^ 2 + 1.680256743x - 451.9750618

în ambele cazuri un> 0 și, deci parabola este îndreptată corect cu susul în jos.

Pentru a dovedi că aceste parabole sunt corecte, trebuie doar să completați a, b, c în calculatorul de vârf de pe acest site de calcul al parabolei.

Pe foaia de calcul, toate calculele sunt deja făcute pentru a găsi punctele de intersecție dintre parabole și pentru a calcula integralul definit pentru a obține zonele de intersecție ale acelor parabole.

În cazul nostru, zonele intersectate ale spectrelor LED albastre și verzi sunt 0,4247.

Odată ce avem parabolele care se intersectează, putem înmulți această zonă de intersecție nou fondată pentru multiplicatorul Gaussian 0.4694 și vom găsi o aproximare foarte apropiată a cantității de putere pe care LED-urile o emit în total în acea secțiune a spectrului. Pentru a găsi fluxul LED unic emis în acea secțiune, împărțiți la 2.

Pasul 6: Studiul LED-urilor monocromatice ale lămpii experimentale este acum finalizat

Ei bine, vă mulțumesc foarte mult pentru că ați citit această cercetare. Sper că vă va fi util să înțelegeți profund modul în care este emisă lumina de la o lampă.

Studiam fluxurile LED-urilor unei lămpi speciale realizate cu trei tipuri de LED-uri monocromatice.

„Ingredientele” pentru realizarea acestei lămpi sunt:

- 3 LED-uri BLU

- 4 LED-uri VERDE

- 3 LED-uri ROȘII

- 3 rezistențe pentru a limita curentul în ramurile circuitului LED

- Alimentare 12V 35W

- Capac acrilic în relief

- Control OSRAM OT BLE DIM (unitate de control cu LED Bluetooth)

- Radiator din aluminiu

- M5 bold și piulițe și L paranteze

Controlați totul cu aplicația Casambi de pe telefonul dvs. smartphone, puteți porni și estompa fiecare canal LED separat.

Construirea lămpii este foarte simplă:

- atașați LED-ul la radiator cu bandă dublă;

- lipiți toate LED-urile BLU în serie cu un rezistor și faceți același lucru cu cealaltă culoare pentru fiecare ramură a circuitului. În funcție de LED-urile pe care le veți alege (eu am folosit Lumileds LED) va trebui să alegeți dimensiunea rezistorului în raport cu cât curent veți alimenta în LED și cu tensiunea totală dată de sursa de alimentare de 12V. Dacă nu știți cum să faceți acest lucru, vă sugerez să citiți acest instructiv extraordinar despre cum să determinați dimensiunea unui rezistor pentru a limita curentul unei serii de LED-uri.

- conectați firele la fiecare canal al Osram OT BLE: tot pozitivul principal al ramurilor LED-urilor merge la comun (+), iar cele trei negative ale ramurilor merg la -B (albastru) -G (verde)) -R (roșu).

- Conectați sursa de alimentare la intrarea Osram OT BLE.

Acum, ceea ce este interesant la Osram OT BLE este că puteți crea scenarii și programați canalele cu LED-uri, așa cum puteți vedea în prima parte a videoclipului. scenarii luminoase prefabricate.

CONCLUZII

Am folosit pe larg matematica pentru a înțelege profund modul în care fluxurile acestor lămpi s-ar propaga.

Sper cu adevărat că ați învățat ceva util astăzi și voi face tot posibilul pentru a aduce la instructabile mai multe cazuri de cercetare aplicată profundă ca aceasta.

Cercetarea este cheia!

Atât cât!

Pietro