Curba brahistochronă: 18 pași (cu imagini)

2024 Autor: John Day | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-30 11:43

Curba brahistochronă este o problemă clasică de fizică, care derivă calea cea mai rapidă între două puncte A și B care se află la cote diferite. Deși această problemă ar putea părea simplă, aceasta oferă un rezultat contra-intuitiv și, prin urmare, este fascinant de urmărit. În acest instructable se va învăța despre problema teoretică, se va dezvolta soluția și, în cele din urmă, se va construi un model care să demonstreze proprietățile acestui uimitor principiu al fizicii.

Acest proiect este conceput pentru realizarea elevilor de liceu, deoarece acoperă concepte conexe la orele de teorie. Acest proiect practic nu numai că le întărește înțelegerea asupra subiectului, dar oferă și o sinteză a altor câmpuri de dezvoltat. De exemplu, în timp ce construiesc modelul, studenții vor învăța despre optică prin legea lui Snell, programarea computerelor, modelarea 3D, frabricarea digitală și abilitățile de bază pentru prelucrarea lemnului. Acest lucru permite unei clase întregi să contribuie împărțind munca între ele, făcând din ea un efort de echipă. Timpul necesar pentru realizarea acestui proiect este de aproximativ o săptămână și poate fi apoi demonstrat clasei sau elevilor mai mici.

Nu există o modalitate mai bună de a învăța decât prin STEM, așa că urmează pentru a-ți crea propriul model de brahistocronă de lucru. Dacă vă place proiectul, votați-l în concursul de clasă.

Pasul 1: Problemă teoretică

Problema brahistocronă este una care se învârte în jurul găsirii unei curbe care unește două puncte A și B care se află la altitudini diferite, astfel încât B nu este direct sub A, astfel încât scăderea unei marmuri sub influența unui câmp gravitațional uniform de-a lungul acestei căi ajungeți la B în cel mai rapid timp posibil. Problema a fost pusă de Johann Bernoulli în 1696.

Când Johann Bernoulli a întrebat problema brahistocronului, în iunie 1696, cititorilor Acta Eruditorum, care a fost una dintre primele reviste științifice din țările vorbitoare de limbă germană ale Europei, a primit răspunsuri de la 5 matematicieni: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus și Guillaume de l'Hôpital având fiecare abordări unice!

Alertă: următorii pași conțin răspunsul și dezvăluie frumusețea din spatele acestei căi rapide. Luați-vă un moment pentru a încerca să vă gândiți la această problemă, poate că s-ar putea să o spargeți la fel ca unul dintre aceste cinci genii.

Pasul 2: Folosirea legii lui Snell pentru a demonstra

Una dintre abordările pentru rezolvarea problemei brahistocronelor este abordarea problemei prin trasarea unor analogii cu Legea lui Snell. Legea lui Snell este utilizată pentru a descrie calea pe care o va urma un fascicul de lumină pentru a ajunge dintr-un punct în altul în timp ce trece prin două medii diferite, folosind principiul lui Fermat, care spune că un fascicul de lumină va lua întotdeauna cea mai rapidă cale. O derivare formală a acestei ecuații poate fi găsită vizitând următorul link.

Deoarece un obiect care cade liber sub influența câmpului gravitațional poate fi comparat cu un fascicul de lumină care trece prin mediul în schimbare, de fiecare dată când fasciculul de lumină întâlnește un mediu nou, fasciculul devine ușor deviat. Unghiul acestei abateri poate fi calculat folosind legea lui Snell. Pe măsură ce continuăm să adăugăm straturi de densități reducătoare în fața fasciculului de lumină deviat, până când fasciculul atinge unghiul critic, unde fasciculul se reflectă pur și simplu, traiectoria fasciculului descrie curba brahistochronă. (curba roșie din diagrama de mai sus)

Curba brahistocronică este de fapt o cicloidă care este curba trasată de un punct de pe marginea unei roți circulare pe măsură ce roata se rostogolește de-a lungul unei linii drepte fără a aluneca. Astfel, dacă trebuie să trasăm curba, putem folosi pur și simplu metoda de mai sus pentru a o genera. O altă proprietate unică a curbei este că o minge eliberată din orice punct al curbei va dura exact același timp pentru a ajunge în partea de jos. Următorii pași descriu procesul de realizare a unui experiment la clasă prin construirea unui model.

Pasul 3: Model de experiment practic

Modelul este alcătuit din căi de tăiere cu lasere care acționează ca urme pentru marmură. Pentru a demonstra că curba brahistocronică este calea cea mai rapidă de la punctul A la B, am decis să o comparăm cu alte două căi. Deoarece câțiva oameni ar simți intuitiv că cea mai scurtă parte este cea mai rapidă, am decis să punem o pantă dreaptă care să conecteze ambele puncte ca a doua cale. A treia este o curbă abruptă, deoarece s-ar simți că scăderea bruscă ar genera suficientă viteză pentru a bate restul.

Al doilea experiment în care bilele sunt eliberate de la înălțimi diferite pe trei căi brahistocronice, are ca rezultat bilele ajungând în același timp. Astfel, modelul nostru prezintă ghidaje imprimate 3D care asigură o schimbare ușoară între panourile acrilice, permițând efectuarea ambelor experimente.

În cele din urmă, mecanismul de eliberare asigură că bilele sunt aruncate împreună și modulul de sincronizare din partea de jos înregistrează temporizările pe măsură ce bilele ajung în partea de jos. Pentru a realiza acest lucru, am încorporat trei comutatoare limită care sunt activate atunci când bilele îl declanșează.

Notă: s-ar putea copia pur și simplu acest design și să-l confecționăm din carton sau alte materiale care sunt ușor disponibile

Pasul 4: Materiale necesare

Iată părțile și consumabilele pentru a realiza un model de lucru al experimentului brahistocronă

HARDWARE:

Scândură de lemn de pin de 1 "- dimensiuni; 100cm pe 10cm

Neodim Magnetx 4 - dimensiuni; 1cm dia și 0,5cm înălțime

Filament de imprimare 3D - PLA sau ABS sunt în regulă

Insert filetat M3 x 8 - (opțional)

Șurub M3 x 8 - 2,5cm lungime

Șurub pentru lemn x 3 - 6cm lungime

Wood Screwx lungime 12 - 2,5cm

ELECTRONICĂ:

Arduino Uno

Limit Switchx 4 - aceste comutatoare vor acționa ca sistemul de sincronizare

Apasa butonul

Ecran LCD

Jumpwire x multe

Costul total al modelului a ajuns la aproximativ 3 0 $

Pasul 5: Imprimare 3D

Mai multe piese precum mecanismul de eliberare și cutia de control au fost realizate cu ajutorul unei imprimante 3d. Următoarea listă conține numărul total de piese și specificațiile de imprimare ale acestora. Toate fișierele STL sunt furnizate într-un folder atașat mai sus, permițându-i să facă modificările necesare, dacă este necesar.

Cutie de control x 1, umplutură de 20%

Ghid x 6, 30% umplutură

End Stop x 1, 20% umplere

Pivot Arm x 1, 20% umplutură

Montare pivot x 1, umplutură 30%

Eliberați bucata x 1, 20% umplere

Părțile au fost tipărite în PLA, deoarece nu există o solicitare specială care acționează asupra pieselor. În total a fost nevoie de aproximativ 40 de ore de tipărire.

Pasul 6: tăierea cu laser a căilor

Diversele căi pe care le-am proiectat pe fusion 360 au fost exportate ca fișiere.dxf și apoi tăiate cu laser. Am ales acrilul alb opac având o grosime de 3 mm pentru a face curbele. Se poate face chiar din lemn cu unelte manuale, dar este important să vă asigurați că materialul ales este rigid, deoarece flexibilitatea ar putea afecta modul în care bilele se rostogolesc în jos.

6 x curba brahistocronă

2 x Curba abruptă

2 x curbă dreaptă

Pasul 7: Tăierea lemnului

Cadrul modelului este realizat din lemn. Am ales 1 "cu 4" pin deoarece am mai rămas dintr-un proiect anterior, deși se poate folosi un lemn la alegere. Folosind un ferăstrău circular și un ghidaj, tăiem două bucăți de lemn de lungime:

48cm care este lungimea cărării

31cm care este înălțimea

Am curățat marginile aspre șlefuindu-le ușor pe șlefuitorul de discuri.

Pasul 8: găurirea găurilor

Înainte de a înșuruba cele două bucăți, marcați grosimea lemnului pe un capăt al piesei de jos și centrați trei găuri echidistante. Am folosit un bit de 5 mm pentru a crea o gaură pilot pe ambele bucăți de lemn și am controbătut gaura de pe bucata inferioară pentru a permite capului șurubului să fie condus la culoare.

Notă: Aveți grijă să nu împărțiți bucata verticală de lemn, deoarece una va fi forată în bobul de capăt. De asemenea, utilizați șuruburi lungi pentru lemn, deoarece este important ca rama să nu tremure și partea superioară datorită pârghiei.

Pasul 9: încorporarea radiatoarelor și magneților

Deoarece firele din piesele imprimate 3D tind să se uzeze în timp, am decis să încorporăm radiatoare. Găurile sunt ușor subdimensionate pentru a permite radiatorului să adere mai bine la plastic. Am plasat radiatoare M3 peste găuri și le-am împins cu vârful unui fier de lipit. Căldura topește plasticul, lăsând dinții să se blocheze. Asigurați-vă că sunt la nivelul suprafeței și că au intrat perpendicular. În total, există 8 pete pentru inserțiile filetate: 4 pentru capac și 4 pentru montarea Arduino Uno.

Pentru a facilita montarea unității de distribuție, am încorporat magneți în cutie, facilitând detașarea dacă sunt necesare vreodată modificări. Magneții trebuie să orienteze aceeași direcție înainte de a fi împinși în poziție

Pasul 10: Atașarea comutatoarelor de limită

Cele trei comutatoare de limită sunt atașate la o parte a unității de sincronizare care se confruntă cu partea de jos a căilor. Astfel, pe măsură ce bilele fac clic pe butoane, se poate determina care bilă a ajuns prima și poate afișa sincronizarea pe un ecran LCD. Lipiți pe benzi mici de sârmă la terminale și fixați-le în sloturi cu un pic de adeziv CA, deoarece nu ar trebui să se slăbească după lovituri continue.

Pasul 11: Afișaj LCD

Capacul unității de distribuție are un decupaj dreptunghiular pentru ecranul LCD și o gaură pentru butonul „start”. Am asigurat afișajul cu pete de adeziv fierbinte până când a fost la același nivel cu suprafața capacului și am fixat butonul roșu cu piulița sa de montare.

Pasul 12: Cablarea electronice

Cablajul constă în conectarea diferitelor componente la pinii din dreapta de pe Arduino. Urmați schema electrică atașată mai sus pentru a configura cutia.

Pasul 13: Încărcarea codului

Codul Arduino pentru proiectul brachistochrone poate fi găsit atașat mai jos. Există două deschideri în compartimentul electronic pentru acces ușor la portul de programare al Arduino și pentru mufa de alimentare.

Butonul roșu atașat deasupra casetei este utilizat pentru a porni cronometrul. Odată ce baloanele rulează în jos curbele și declanșează comutatoarele de limită, care sunt plasate în partea de jos, calendarele sunt înregistrate secvențial. După ce au lovit toate cele trei bile, ecranul LCD afișează rezultatele, aliniate cu curbele respective (imagini atașate mai sus). După ce ați notat rezultatele în cazul în care este necesară o a doua citire, pur și simplu apăsați din nou butonul principal pentru a reîmprospăta cronometrul și repetați același proces.

Pasul 14: Ghidurile de imprimare 3D

Ghidajele care au fost imprimate 3D au avut o bază de material de 3 mm înainte de începerea pereților de susținere. Prin urmare, atunci când panourile acrilice ar fi alunecate la locul lor, ar exista un decalaj între panou și cadrul din lemn, scăzând stabilitatea căii.

Prin urmare, ghidul trebuia să fie încorporat de 3 mm în lemn. Deoarece nu aveam un router, l-am dus la un atelier local și l-am făcut pe o mașină de frezat. După un pic de șlefuire, amprentele se potrivesc perfect și le putem asigura cu șuruburi de lemn din lateral. Atașat mai sus este un șablon pentru așezarea celor 6 ghidaje pe cadrul de lemn.

Pasul 15: Adăugarea dopului și a unității de sincronizare

Deoarece modulul de sincronizare a fost un sistem separat, am decis să realizăm un sistem rapid de montare și detașare utilizând magneți. În acest fel, se poate programa cu ușurință, ar putea scoate unitatea. În loc să facem un șablon pentru a transfera poziția magneților care trebuie încorporați în lemn, îi lăsăm pur și simplu să se conecteze la cei de pe cutie și apoi punem un pic de clei și așezăm cutia pe bucata de lemn. Urmele de lipici au fost transferate pe lemn, permițându-ne să găurim rapid găurile în punctele exacte. În cele din urmă atașați dopul tipărit 3D și unitatea de distribuție ar trebui să se potrivească perfect, dar să poată fi detașată cu o ușoară tragere

Pasul 16: Mecanismul de lansare

Mecanismul de eliberare este simplu. Folosiți o piuliță și un șurub pentru a conecta strâns secțiunea C la brațul pivot, făcându-le o piesă sigură. Apoi găuriți două găuri în mijlocul lemnului vertical și atașați suportul. Glisați un arbore pivotant și mecanismul este complet.

Pasul 17: Experimentul

Acum că modelul este gata, puteți face următoarele experimente

Experimentul 1

Glisați cu atenție în panourile acrilice ale căii drepte, curbei brahistocronice și calea abruptă (în această ordine pentru cel mai bun efect). Apoi trageți zăvorul în sus și așezați cele trei bile în partea de sus a curbei, asigurându-vă că sunt perfect aliniate între ele. Țineți-le strâns în poziție cu zăvorul în jos. Faceți un student să elibereze bilele și altul să apese butonul roșu pentru a porni sistemul de sincronizare. În cele din urmă, observați cum bilele se rostogolesc pe traseu și analizați rezultatele afișate pe modulul de sincronizare. Configurarea unei camere pentru înregistrarea filmărilor cu mișcare lentă este și mai interesantă, deoarece se poate vedea cursa cadru cu cadru.

Experimentul 2

Ca și experimentul anterior, alunecați în panourile acrilice, dar de această dată toate căile trebuie să fie curba brahistonchrone. Rugați cu atenție un elev să țină cele trei bile la diferite altitudini de această dată și apăsați butonul roșu pe măsură ce bilele sunt eliberate. Urmăriți momentul uimitor în timp ce bilele se aliniază perfect înainte de linia de sosire și confirmați observațiile cu rezultatele.

Pasul 18: Concluzie

Realizarea modelului brahistocronă este un mod practic de a vedea modalitățile magice în care funcționează știința. Experimentele nu numai că sunt distractive de vizionat și antrenante, dar oferă și o sinteză a aspectelor învățării. Deși în primul rând un proiect destinat elevilor de liceu, atât practic cât și teoretic, această demonstrație poate fi ușor înțeleasă de copiii mai mici și ar putea fi prezentată ca o prezentare simplificată.

Am dori să încurajăm oamenii să facă lucruri, fie că este un succes sau un eșec, deoarece la sfârșitul zilei STEM este întotdeauna distractiv! Fericire fericită!

Votează în concursul de clasă dacă ți-au plăcut instructibilele și lasă feedback-ul tău în secțiunea de comentarii.

Marele Premiu la Concursul de Științe Classroom