Pendul inversat: teoria și dinamica controlului: 17 pași (cu imagini)

2024 Autor: John Day | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-01-30 11:44

Pendulul inversat este o problemă clasică în dinamica și teoria controlului, care este elaborată în general în cursurile de fizică sau matematică din liceu și de licență. Fiind un entuziast al matematicii și științei, am decis să încerc și să pun în aplicare conceptele pe care le-am învățat în timpul orelor pentru a construi un pendul inversat. Aplicarea unor astfel de concepte în viața reală nu numai că vă ajută să vă consolidați înțelegerea conceptelor, ci vă expune și la o nouă dimensiune a problemelor și provocărilor care se ocupă de situațiile practice și de viață reală pe care nu le puteți întâlni niciodată în orele de teorie.

În acest instructable, voi introduce mai întâi problema pendulului inversat, apoi voi acoperi aspectul teoretic al problemei și apoi voi discuta despre hardware și software necesare pentru a aduce la viață acest concept.

Vă sugerez să vizionați videoclipul atașat mai sus în timp ce parcurgeți instructivul, care vă va oferi o mai bună înțelegere.

Și, în cele din urmă, vă rugăm să nu uitați să renunțați la un vot la „Concursul de științe în clasă” dacă v-a plăcut acest proiect și nu ezitați să lăsați orice întrebare în secțiunea de comentarii de mai jos. Fericire fericită!:)

Pasul 1: problema

Problema pendulului inversat este similară cu echilibrarea unei mături sau a unui stâlp lung pe palma mâinii, ceea ce majoritatea dintre noi am încercat în copilărie. Când ochii noștri văd polul căzând într-o anumită parte, ei trimit aceste informații către creier care efectuează anumite calcule și apoi vă instruiește brațul să se deplaseze într-o anumită poziție cu o anumită viteză pentru a contracara mișcarea polului, ceea ce, sperăm, va aduce incluzând stâlpul înapoi la verticală. Acest proces se repetă de câteva sute de ori pe secundă, ceea ce ține polul complet sub controlul tău. Pendulul inversat funcționează în mod similar. Scopul este de a echilibra un pendul cu capul în jos pe o căruță care are voie să se miște. În loc de ochi, un senzor este utilizat pentru a detecta poziția pendulului care trimite informațiile către un computer care efectuează anumite calcule și instruiește actuatorii să deplaseze căruciorul într-un mod pentru a face pendulul din nou vertical.

Pasul 2: Soluția

Această problemă a echilibrării unui pendul cu capul în jos necesită o perspectivă asupra mișcărilor și forțelor care se joacă în acest sistem. În cele din urmă, această perspectivă ne va permite să venim cu „ecuații de mișcare” ale sistemului, care pot fi utilizate pentru a calcula relațiile dintre ieșirea care se îndreaptă către actuatori și intrările provenite de la senzori.

Ecuațiile mișcării pot fi derivate în două moduri, în funcție de nivelul dvs. Ele pot fi derivate folosind legile de bază ale Newton și unele matematici la nivel de liceu sau folosind mecanica lagrangiană, care este, în general, introdusă în cursurile de fizică universitare. (Notă: Derivarea ecuațiilor de mișcare folosind legile lui Newton este simplă, dar plictisitoare, în timp ce utilizarea mecanicii lagrangiene este mult mai elegantă, dar necesită înțelegerea mecanicii lagrangiene, deși ambele abordări conduc în cele din urmă la aceeași soluție).

Ambele abordări și derivările lor formale sunt de obicei acoperite în liceu sau cursuri universitare de matematică sau fizică, deși pot fi ușor găsite folosind o căutare simplă pe google sau vizitând acest link. Observând ecuațiile finale ale mișcării observăm o relație între patru mărimi:

• Unghiul pendulului față de verticală
• Viteza unghiulară a pendulului
• Accelerația unghiulară a pendulului
• Accelerarea liniară a căruciorului

În cazul în care primele trei sunt cantități care urmează să fie măsurate de senzor și ultima cantitate va fi trimisă actuatorului pentru a efectua.

Pasul 3: Teoria controlului

Teoria controlului este un subdomeniu al matematicii care se ocupă cu controlul și operarea sistemelor dinamice în procese și mașini proiectate. Obiectivul este de a dezvolta un model de control sau o buclă de control pentru a obține în general stabilitate. În cazul nostru, echilibrează pendulul cu capul în jos.

Există două tipuri principale de bucle de control: controlul buclei deschise și controlul buclei închise. Când implementați un control de buclă deschisă, acțiunea de control sau comanda de la controler este independentă de ieșirea sistemului. Un bun exemplu în acest sens este un cuptor, în care cantitatea de timp în care cuptorul rămâne este pur dependentă de temporizator.

În timp ce într-un sistem cu buclă închisă, comanda controlerului depinde de feedback-ul din starea sistemului. În cazul nostru, feedback-ul este unghiul pendulului cu referire la normal, care determină viteza și poziția căruciorului, făcând astfel acest sistem un sistem cu buclă închisă. Atașat mai sus este o reprezentare vizuală sub forma unei diagrame bloc a unui sistem cu buclă închisă.

Există mai multe tehnici de mecanisme de feedback, dar una dintre cele mai utilizate este controlerul proporțional-integral-derivat (controler PID), care este ceea ce vom folosi.

Notă: Înțelegerea funcționării acestor controlere este foarte utilă în dezvoltarea unui controler de succes, deși explicarea operațiunilor unui astfel de controler depășește sfera acestui instructiv. În cazul în care nu ați întâlnit aceste tipuri de controlere în cursul dvs., există ciorchini de material online și o simplă căutare pe google sau un curs online vă va ajuta.

Pasul 4: Implementarea acestui proiect în clasa dvs

Grupa de vârstă: Acest proiect este destinat în principal studenților de liceu sau de licență, dar ar putea fi prezentat și copiilor mai mici doar ca o demonstrație, oferind o imagine de ansamblu asupra conceptelor.

Concepte acoperite: Principalele concepte care sunt acoperite de acest proiect sunt dinamica și teoria controlului.

Timp necesar: Odată ce toate piesele sunt adunate și fabricate, asamblarea durează 10 - 15 minute. Crearea modelului de control necesită ceva mai mult timp, pentru aceasta, elevilor li se poate acorda 2-3 zile. Odată ce fiecare student (sau grupuri de studenți) și-a dezvoltat modelele de control respective, o altă zi poate fi folosită pentru ca persoanele sau echipele să demonstreze.

O modalitate de a implementa acest proiect în clasa dvs. ar fi construirea sistemului (descris în pașii următori), în timp ce lotul lucrează la subiectele fizicii legate de dinamică sau în timp ce studiază sistemele de control în orele de matematică. În acest fel, ideile și conceptele pe care le întâlnesc în timpul cursului pot fi implementate direct într-o aplicație din lumea reală, ceea ce face conceptele lor mult mai clare, deoarece nu există o modalitate mai bună de a învăța un concept nou decât prin implementarea acestuia în viața reală.

Un singur sistem poate fi construit, împreună ca o clasă și apoi clasa poate fi împărțită în echipe, fiecare construind un model de control de la zero. Fiecare echipă își poate demonstra apoi munca într-un format de competiție, în care cel mai bun model de control este cel care poate echilibra cel mai mult și rezista la lovituri și împinge robust.

O altă modalitate de a implementa acest proiect în sala de clasă ar fi să îi faci pe copii mai mari (la nivel de liceu sau cam asa ceva), să dezvolte acest proiect și să-l demonstrezi copiilor mai mici, oferindu-le în același timp o imagine de ansamblu asupra dinamicii și controalelor. Acest lucru nu numai că poate provoca interes pentru fizică și matematică pentru copiii mai mici, dar îi va ajuta și pe elevii mai mari să-și cristalizeze conceptele de teorie, deoarece una dintre cele mai bune modalități de a vă consolida conceptele este explicându-le altora, în special copiilor mai mici, așa cum necesită să vă formulați ideile într-un mod foarte simplu și clar.

Pasul 5: Piese și consumabile

Căruciorului i se va permite să se miște liber pe un set de șine, oferindu-i un singur grad de libertate. Iată piesele și consumabilele necesare pentru realizarea pendulului și a sistemului de căruțe și șine:

Electronică:

• O placă compatibilă Arduino, oricare va funcționa. Vă recomand un Uno în cazul în care nu sunteți prea experimentat cu electronica, deoarece va fi mai simplu de urmat.
• Un motor pas cu pas Nema17, care va funcționa ca actuator pentru cărucior.
• Un driver de motor pas cu pas, încă o dată orice va funcționa, dar recomand driverul de pas cu pas A4988, deoarece va fi mai simplu de urmat.
• Un MPU-6050 cu șase axe (girometru + accelerometru), care va detecta diferiți parametri, cum ar fi unghiul și viteza unghiulară a pendulului.
• O singură sursă de alimentare de 12V 10A, 10A este de fapt o ușoară exagerare pentru acest proiect specific, orice lucru peste 3A va funcționa, dar având posibilitatea de a extrage curent suplimentar permite dezvoltarea viitoare acolo unde poate fi necesară mai multă energie.

Hardware:

• 16 x rulmenți, am folosit rulmenți pentru skateboard și au funcționat grozav
• 2 fulii GT2 și curea
• Aproximativ 2,4 metri de țeavă din PVC de 1,5 inci
• Grămadă de piulițe și șuruburi de 4 mm

Unele dintre părțile care au fost utilizate în acest proiect au fost, de asemenea, tipărite 3D, prin urmare, este foarte util să aveți o imprimantă 3D, deși sunt disponibile în mod obișnuit facilități de imprimare 3D locale sau online.

Costul total al tuturor pieselor este doar puțin mai mic de 50 $ (cu excepția imprimantei 3D)

Pasul 6: Părți imprimate 3D

Unele dintre părțile sistemului de căruțe și șine trebuiau să fie personalizate, așa că am folosit Autodesk gratuit pentru a folosi Fusion360 pentru a modela fișierele CAD și a le imprima 3D pe o imprimantă 3D.

Unele părți care au avut forme pur 2D, cum ar fi pendulul și patul de portic, au fost tăiate cu laser, deoarece au fost mult mai rapide. Toate fișierele STL sunt atașate mai jos în folderul zip. Iată o listă completă a tuturor părților:

• 2 x Rola Gantry
• 4 x capace de capăt
• 1 x Suport pas cu pas
• 2 x Suport rulment rola ralanti
• 1 x suport pentru pendul
• 2 x atașament centură
• 1 x Suport rulment pendul (a)
• 1 x suport pentru rulment pendul (b)
• 1 x distanțier pentru orificiul fuliei
• 4 x distanțier gaură rulment
• 1 x placă portică
• 1 x placă de susținere pas cu pas
• 1 x placa de suport pentru scripete de ralanti
• 1 x pendul (a)
• 1 x pendul (b)

În total sunt 24 de părți, care nu durează prea mult pentru a imprima, deoarece piesele sunt mici și pot fi tipărite împreună. Pe parcursul acestui instructable, mă voi referi la părțile bazate pe numele din această listă.

Pasul 7: Asamblarea rolelor Gantry

Rolele de gantry sunt ca roțile pentru cărucior. Acestea se vor rostogoli de-a lungul căii din PVC, ceea ce va permite căruciorului să se deplaseze lin cu o frecare minimă. Pentru acest pas, apucați cele două role de tip portic imprimate 3D, 12 rulmenți și o grămadă de piulițe și șuruburi. Veți avea nevoie de 6 rulmenți pe rolă. Atașați rulmenții la role folosind piulițele și șuruburile (Utilizați imaginile ca referință). Odată ce fiecare rola este făcută, glisați-le pe conducta din PVC.

Pasul 8: Asamblarea sistemului de acționare (motor pas cu pas)

Căruciorul va fi condus de un motor pas cu pas Nema17 standard. Fixați motorul în consola pas cu pas folosind șuruburile care ar fi trebuit să vină ca set cu pasul cu pas. Apoi înșurubați consola pe placa suportului pas cu pas, aliniați cele 4 găuri de pe consolă cu cele 4 de pe placă și folosiți piulițe și șuruburi pentru a fixa cele două împreună. Apoi, montați fulia GT2 pe arborele motorului și atașați cele două capace de capăt la placa suportului pas cu pas din partea inferioară folosind mai multe piulițe și șuruburi. După ce ați terminat, puteți glisa capace de capăt pe țevi. În cazul în care potrivirea este prea bună în loc să forțeze capace pe țevi, vă recomand să șlefuiți suprafața interioară a capacei imprimate 3D până când potrivirea este strânsă.

Pasul 9: Asamblarea sistemului de acționare (rola de ralanti)

Piulițele și șuruburile pe care le foloseam aveau un diametru de 4 mm, deși găurile de pe scripete și rulmenți erau de 6 mm, motiv pentru care a trebuit să imprime adaptoare 3D și să le împing în găurile scripetei și rulmenților, astfel încât să nu se clatină pe șurub. Dacă aveți piulițe și șuruburi de dimensiunea potrivită, nu veți avea nevoie de acest pas.

Introduceți rulmenții în suportul lagărului fuliei de ralanti. Încă o dată dacă fixarea este prea strânsă, folosiți șmirghel pentru a șlefui ușor peretele interior al suportului lagărului fuliei de ralanti. Treceți un șurub printr-unul dintre lagăre, apoi glisați o scripete pe șurub și închideți celălalt capăt al cu al doilea rulment și setul suportului rulmentului scripetului de ralanti.

Odată ce ați terminat, atașați perechea de suporturi ale lagărelor fuliei de ralanti pe placa suportului fuliei de ralanti și atașați capace de capăt la fața inferioară a acestei plăci, similar cu pasul anterior. În cele din urmă, acoperiți capătul opus al celor două țevi din PVC folosind aceste capace. Cu aceasta, șinele pentru coșul dvs. sunt complete.

Pasul 10: Asamblarea Gantry-ului

Următorul pas este construirea coșului. Atașați cele două role împreună folosind placa de portic și 4 piulițe și șuruburi. Plăcile de portic au sloturi, astfel încât să puteți regla poziția plăcii pentru ajustări ușoare.

Apoi, montați cele două accesorii ale curelei pe ambele părți ale plăcii porticului. Asigurați-vă că le atașați de jos, altfel centura nu va fi la același nivel. Asigurați-vă că treceți și șuruburile din partea inferioară, deoarece altfel, dacă șuruburile sunt prea lungi, acestea pot provoca o obstrucție pentru centură.

În cele din urmă, atașați suportul pendulului la partea din față a căruciorului folosind piulițe și șuruburi.

Pasul 11: Asamblarea pendulului

Pendulul a fost realizat în două bucăți, pur și simplu pentru a economisi materiale. Puteți lipi cele două piese între ele prin alinierea dinților și lipirea acestora. Împingeți din nou distanțierele orificiului lagărului în cele două rulmenți pentru a compensa diametrul mai mic al șuruburilor și apoi împingeți lagărele în orificiile lagărelor celor două piese ale suportului lagărului pendulului. Strângeți cele două părți imprimate 3D pe fiecare parte a capătului inferior al pendulului și fixați cele 3 împreună folosind 3 piulițe și șuruburi care trec prin suporturile lagărului pendulului. Treceți un șurub prin cele două rulmenți și fixați celălalt capăt cu o piuliță corespunzătoare.

Apoi, apucați MPU6050 și atașați-l la capătul opus al pendulului cu ajutorul șuruburilor de montare.

Pasul 12: Montarea pendulului și centurilor

Ultimul pas este montarea pendulului pe cărucior. Faceți acest lucru trecând șurubul pe care l-ați trecut mai devreme prin cei doi rulmenți ai pendulului, prin orificiul de pe suportul pendulului care este atașat la partea din față a căruciorului și folosiți o piuliță la celălalt capăt pentru a fixa pendulul pe cărucior.

În cele din urmă, apucați cureaua GT2 și fixați mai întâi un capăt pe unul dintre accesoriile centurii care este prinsă pe coș. Pentru aceasta, am folosit o clemă de curea imprimabilă 3D, care se fixează pe capătul centurii și împiedică alunecarea ei prin fanta îngustă. Stilurile pentru această piesă pot fi găsite pe Thingiverse folosind acest link. Înfășurați centura până la capăt în jurul scripetului pas cu pas și a scripetului de ralanti și fixați celălalt capăt al centurii pe piesa de fixare a centurii de pe capătul opus al căruciorului. Întindeți centura în timp ce vă asigurați că nu strângeți prea mult sau nu o lăsați prea mult și cu aceasta pendulul și coșul sunt complete!

Pasul 13: Cablare și electronică

Cablarea constă în conectarea MPU6050 la Arduino și a cablării sistemului de acționare. Urmați schema de cablare atașată mai sus pentru a conecta fiecare componentă.

MPU6050 către Arduino:

• GND la GND
• + 5v la + 5v
• SDA la A4
• SCL la A5
• Int până la D2

Motor pas cu pas către șofer pas cu pas:

• Bobina 1 (a) la 1A
• Bobina 1 (b) la 1B
• Bobina 2 (a) la 2A
• Bobina 2 (b) la 2B

Driver pas cu pas către Arduino:

• GND la GND
• VDD la + 5v
• PASUL la D3
• DIR la D2
• VMOT la terminalul pozitiv al sursei de alimentare
• GND la terminalul de masă al sursei de alimentare

Pinii Sleep și Reset de pe driverul pas cu pas trebuie să fie conectați cu un jumper. Și, în cele din urmă, este o idee bună să conectați un condensator electrolitic de aproximativ 100 uF în paralel cu bornele pozitive și la sol ale sursei de alimentare.

Pasul 14: Controlul sistemului (control proporțional)

Inițial, am decis să încerc un sistem de control proporțional de bază, adică viteza căruței este pur și simplu proporțională cu un anumit factor față de unghiul pe care pendulul îl face cu verticala. Acesta a fost menit să fie pur și simplu un test pentru a se asigura că toate piesele au funcționat corect. Deși, acest sistem proporțional de bază a fost suficient de robust încât să facă echilibrul pendulului. Pendulul ar putea chiar contracara împingeri ușoare și împingeri destul de robust. În timp ce acest sistem de control a funcționat remarcabil de bine, a avut încă câteva probleme. Dacă aruncăm o privire la graficul citirilor IMU într-un anumit timp, putem observa clar oscilații în citirile senzorilor. Acest lucru implică faptul că ori de câte ori controlerul încearcă să efectueze o corecție, acesta este întotdeauna depășit cu o anumită cantitate, care este, de fapt, însăși natura unui sistem de control proporțional. Această ușoară eroare poate fi corectată prin implementarea unui alt tip de controler care ia în considerare toți acești factori.

Codul pentru sistemul de control proporțional este atașat mai jos. Codul necesită suportul a câteva biblioteci suplimentare, care sunt biblioteca MPU6050, biblioteca PID și biblioteca AccelStepper. Acestea pot fi descărcate folosind managerul de bibliotecă integrat al Arduino IDE. Pur și simplu accesați Sketch >> Include Library >> Manage Libraries, apoi căutați doar PID, MPU6050 și AccelStepper în bara de căutare și instalați-le făcând clic pe butonul Instalare.

Deși, sfatul meu pentru toți cei care sunt pasionați de știință și matematică, ar fi să încercați să construiți un controler de acest fel de la zero. Acest lucru nu numai că vă va consolida conceptele despre dinamica și teoriile de control, dar vă va oferi și o oportunitate de a vă implementa cunoștințele în aplicații din viața reală.

Pasul 15: Controlul sistemului (control PID)

În general, în viața reală, odată ce un sistem de control se dovedește a fi suficient de robust pentru aplicarea sa, inginerii finalizează de obicei proiectul, mai degrabă decât să complice situațiile prin utilizarea unor sisteme de control mai complexe. Dar, în cazul nostru, construim acest pendul inversat doar în scop educativ. Prin urmare, putem încerca să progresăm către sisteme de control mai complexe, cum ar fi controlul PID, care se poate dovedi a fi mult mai robust decât un sistem de control proporțional de bază.

Deși controlul PID a fost mult mai complex de implementat, odată implementat corect și găsind parametrii de reglare perfecți, pendulul s-a echilibrat semnificativ mai bine. În acest moment, ar putea contracara și zguduiturile ușoare. Citirile de la IMU într-un anumit timp (atașate mai sus) demonstrează, de asemenea, că citirile nu merg niciodată prea departe pentru valoarea de referință dorită, adică verticală, demonstrând că acest sistem de control este mult mai eficient și mai robust decât controlul proporțional de bază.

Încă o dată, sfatul meu pentru toți cei care sunt pasionați de știință și matematică ar fi să încercați să construiți un controler PID de la zero înainte de a utiliza codul atașat mai jos. Acest lucru poate fi luat ca o provocare și nu se știe niciodată, cineva ar putea veni cu un sistem de control care este mult mai robust decât orice s-a încercat până acum. Deși o bibliotecă PID robustă este deja disponibilă pentru Arduino, care a fost dezvoltată de Brett Beauregard, care poate fi instalată din managerul bibliotecii de pe IDE-ul Arduino.

Notă: Fiecare sistem de control și rezultatul său sunt demonstrate în videoclipul atașat chiar în primul pas.

Pasul 16: Îmbunătățiri suplimentare

Unul dintre lucrurile pe care am vrut să le încerc a fost o funcție de "swing-up", în care pendulul atârnă inițial sub căruță, iar căruța face câteva mișcări rapide de sus și de-a lungul pistei pentru a leagăna pendulul dintr-un agățat poziția într-o poziție inversă inversă. Dar acest lucru nu a fost realizabil cu configurația curentă, deoarece un cablu lung a trebuit să conecteze unitatea de măsurare inerțială la Arduino, prin urmare, un cerc complet realizat de pendul ar fi putut provoca răsucirea și prinderea cablului. Această problemă poate fi rezolvată folosind un codificator rotativ atașat la pivotul pendulului în locul unei unități de măsurare inerțială chiar la vârful acestuia. Cu un codificator, arborele său este singurul lucru care se rotește cu pendulul, în timp ce corpul rămâne staționar, ceea ce înseamnă că cablurile nu se vor răsuci.

O a doua caracteristică pe care am vrut să o încerc, a fost să echilibrez un pendul dublu pe cărucior. Acest sistem constă din două pendule conectate unul după altul. Deși dinamica unor astfel de sisteme este mult mai complexă și necesită mult mai multă cercetare.

Pasul 17: Rezultate finale

Un experiment ca acesta poate transforma starea de spirit a unei clase într-o manieră pozitivă. În general, majoritatea oamenilor preferă să poată aplica concepte și idei pentru a le cristaliza, altfel, ideile rămân „în aer” ceea ce face ca oamenii să tindă să le uite mai repede. Acesta a fost doar un exemplu de aplicare a anumitor concepte învățate în timpul orelor într-o aplicație din lumea reală, deși acest lucru va suscita cu siguranță entuziasmul elevilor de a încerca în cele din urmă să vină cu propriile experimente pentru a testa teoriile, ceea ce va face ca viitoarele lor clase să fie mult mai numeroase. plin de viață, ceea ce îi va face să dorească să afle mai multe, ceea ce îi va face să vină cu experimente mai noi și acest ciclu pozitiv va continua până când viitoarele săli de clasă vor fi pline de astfel de experimente și proiecte distractive și plăcute.

Sper că acesta va fi începutul multor experimente și proiecte! Dacă ți-a plăcut acest lucru instructiv și ți s-a părut de ajutor, te rog să votezi mai jos în „Concursul de științe în clasă” și orice comentarii sau sugestii sunt binevenite! Mulțumesc!:)

Locul doi în concursul de științe în clasă